Péter Rózsa

Péter Rózsa (Politzer Rózsa, Budapest, 1905. február 17.– Budapest, 1977. február 17.) magyar matematikus, az MTA levelező tagja (1973).

Idézetek műveiből

A csokipapír

(Játék a végtelennel, II. fejezet: A teremtő forma, 11. szakasz: Ismét megfogjuk a végtelent - részlet)

Egy ismert matematikusunk még kisdiák korában a következő példával világította meg önmagának a végtelen sor összegének fogalmát.

Volt egy csokoládéfajta, amit úgy akartak népszerűvé tenni, hogy szelvényt is csomagoltak az burkoló ezüstpapírba, és aki $\scriptstyle {10}$ ilyen szelvényt beszolgáltatott, az egy újabb tábla csokoládét kapott cserébe. Ha van egy ilyen tábla csokoládém, a teljes csomagolásban, mennyit ér ez valójában?

Természetesen nemcsak $\scriptstyle {1}$ tábla csokoládét ér, mert a szelvény is benne van, és egy szelvényért adnak $\scriptstyle {\frac {1}{10}}$ csokoládét (hiszen $\scriptstyle {10}$-ért lehet egy csokoládét kapni). De ehhez a tized-csokoládéhoz egy tized szelvény is ját, s ha egy szelvényért $\scriptstyle {\frac {1}{10}}$ csokoládét kaphatunk, akkor az $\scriptstyle {\frac {1}{10}}$ szelvényért ennek a tizedrészét: $\scriptstyle {\frac {1}{100}}$ csokoládét. Ehhez az $\scriptstyle {\frac {1}{100}}$ csokoládéhoz tartozik egy század szelvényrészlet is, és ezért ismét tizedannyit adnak, $\scriptstyle {\frac {1}{100}}$-nak a tizedrésze pedig $\scriptstyle {\frac {1}{1000}}$ csokoládé. S í. t., a végtelenségig; látható, hogy ez sohasem szakad meg és így az én $\scriptstyle {1}$ tábla csokoládém szelvényestül voltaképpen

$1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\dots$

csokoládét ér.

Másrészt meg fogom mutatni, hogy egész pontosan $\scriptstyle {1{\frac {1}{9}}}$ csokoládé az értéke. Az ebben lévő $\scriptstyle {1}$ egész természetesen magának a természetben adott csokoládénak az értéke, tehát csak azt kell megmutatnom, hogy az ehhez mellékelt szelvény $\scriptstyle {\frac {1}{9}}$ csokoládét ér. Ehhez elég azt bizonyítanom, hogy $\scriptstyle {9}$ szelvény ér 1 csokoládét, mert akkor biztos, hogy egy szelvény ennek a $\scriptstyle {9}$-ed részét éri. Márpedig az egy pillanat alatt igazolható, hogy $\scriptstyle {9}$ szelvény értéke egész pontosan $\scriptstyle {1}$ csokoládé. Mert tegyük fel, hogy nekem van $\scriptstyle {9}$ szelvényem; bemegyek a cukorkaüzletbe és ezt mondom: "Kérek egy tábla csokoládét; itt a helyszínen szeretném elfogyasztani és majd a végén fizetek." Elfogyasztom a csokoládét, kiveszem a hozzá csatolt szelvényt, és most már $\scriptstyle {10}$ szelvényem van, csakugyan fizethetek, és ez tiszta üzlet: megettem egy csokoládét és egy fia szelvényem sem maradt. A $\scriptstyle {9}$ szelvény pontos értéke tehát valóban $\scriptstyle {1}$ csokoládé, $\scriptstyle {1}$ szelvényé $\scriptstyle {\frac {1}{9}}$ csokoládé, egy csokoládéé szelvényestül $\scriptstyle {1{\frac {1}{9}}}$ csokoládé. Tehát az

$1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\dots$

végtelen sor összege egész pontosan $\scriptstyle {1{\frac {1}{9}}}$, kézzel foghatóan, sőt megehetően.

Így fogalmazhatjuk meg ezt az eredményt: ha valami első, durva közelítésben $\scriptstyle {1}$, valamivel jobb közelítésben $\scriptstyle {1+{\frac {1}{10}}}$, még jobb közelítésben, de még mindig pontatlanul $\scriptstyle {1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}}$, s.í.t. a végtelenségig, akkor ez a valami teljes pontossággal $\scriptstyle {1{\frac {1}{9}}}$.